O que são os fractais, padrões matemáticos infinitos apelidados de ‘impressão digital de Deus’

O que as galáxias, as nuvens, o sistema nervoso, as montanhas e o litoral têm em comum?

Todos contêm padrões intermináveis conhecidos como fractais.

Importância dos Fractais

Os fractais são ferramentas importantes em diversas áreas — desde estudos sobre as mudanças climáticas e a trajetória de meteoritos até pesquisas sobre o câncer (ajudando a identificar o crescimento de células mutantes) e a criação de filmes de animação.

Matemática: Modelo da Realidade

O que é a matemática? Um modelo da realidade ou a própria realidade?

Por que você deve parar de acreditar que ‘não nasceu pra matemática’?

Estes são apenas alguns exemplos e há quem acredite que, devido à sua natureza altamente complexa e misteriosa, ainda não foi descoberto todo seu potencial.

Definindo Fractais

Infelizmente, não existe uma definição simples e precisa dos fractais. Como tantas outras questões na ciência e na matemática moderna, discussões sobre a “geometria fractal” podem gerar confusão para quem não está imerso nesse universo.

O que é uma pena, porque há um poder e uma beleza profunda no conceito dos fractais.

Veja aqui uma reportagem do G1 sobre fractais.

O pai da geometria fractal

O termo foi cunhado por um cientista pouco convencional chamado Benoit Mandelbrot, um matemático polonês nacionalizado francês e, depois, americano.

Mandelbrot não cursou os dois primeiros anos de escola e, como judeu na Europa devastada pela guerra, sua educação sofreu interrupções graves.

Em grande parte, ele foi autodidata ou ensinado por familiares. Nunca aprendeu formalmente o alfabeto, tampouco foi além da tabuada de multiplicação por 5.

Mas tinha um dom para enxergar os padrões ocultos da natureza.

Celebrando o caos

Mandelbrot passou a vida inteira procurando uma base matemática simples para as formas irregulares do mundo real.

Parecia cruel para ele que os matemáticos tivessem passado séculos contemplando formas idealizadas, como linhas retas ou círculos perfeitos.

“As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, os litorais não são círculos e as cascas das árvores não são lisas, tampouco os raios se deslocam em linha reta”, escreveu Mandelbrot.

A forma das nuvens é complicada e irregular: o tipo de forma que os matemáticos costumavam evitar, privilegiando as regulares, como as esferas, que eles eram capazes de domar com equações.

Autossimilaridade

Imagine nuvens, montanhas, brócolis e samambaias… suas formas têm algo em comum, algo intuitivo, acessível e estético.

Se você observar com atenção, vai descobrir que a complexidade deles ainda está presente em uma escala menor.

Subjacente a quase todas as formas no mundo natural, existe um princípio matemático conhecido como autossimilaridade, que descreve qualquer coisa em que a mesma forma se repete sucessivamente em escalas cada vez menores.

Um bom exemplo disso são os galhos de árvores.

O Conjunto Mandelbrot

O que aconteceria se essa propriedade da natureza pudesse ser representada na matemática? O que aconteceria se você pudesse capturar sua essência para fazer um desenho? Como seria esse desenho?

A resposta viria do próprio Mandelbrot, que aceitou um emprego na IBM no final da década de 1950 para obter acesso ao incrível poder de processamento da companhia e deixar fluir sua obsessão pela matemática da natureza.

Munido de um supercomputador de última geração, ele começou a estudar uma equação muito curiosa e estranhamente simples que poderia ser usada para desenhar uma forma bastante incomum.

A ilustração a seguir é uma das imagens matemáticas mais notáveis já descobertas: é o Conjunto Mandelbrot.

Este é o fractal mais famoso gerado por computador: uma paisagem turbulenta, emplumada e aparentemente orgânica que lembra o mundo natural, mas é completamente virtual.

Quanto mais de perto você examinar esta imagem, mais detalhes verá.

Cada forma dentro do conjunto contém um número de formas menores, que contêm um número de outras formas ainda menores… e, assim por diante, sem fim.

Complexidade e Simplicidade

Uma das coisas mais surpreendentes sobre o conjunto de Mandelbrot é que, em teoria, ele continuaria criando infinitamente novos padrões a partir da estrutura original, o que demonstra que algo poderia ser ampliado para sempre.

No entanto, toda essa complexidade vem de uma equação incrivelmente simples.

E isso nos obriga a repensar a relação entre simplicidade e complexidade.

Há algo em nossas mentes que diz que a complexidade não surge da simplicidade, que deve surgir de algo complicado. Mas o que a matemática nos diz em toda essa área é que regras muito simples dão origem naturalmente a objetos muito complexos.

Essa é a grande revelação. É um conceito surpreendente. E isso parece se aplicar ao nosso mundo como um todo.

Padrões na Natureza

Pense nas revoadas de pássaros. Cada pássaro obedece a regras muito simples. Mas o grupo como um todo faz coisas incrivelmente complicadas, como evitar obstáculos e viajar pelo planeta sem um líder específico ou um plano consciente.

É impossível prever como a revoada vai se comportar. Ela nunca repete exatamente o que faz, mesmo em circunstâncias aparentemente idênticas.

O mesmo vale para as árvores.

Sabemos que elas vão produzir um certo tipo de padrão, mas isso não significa que somos capazes de prever as formas exatas, pois algumas variações naturais, causadas pelas diferentes estações do ano, pelo vento ou por um acidente ocasional, as tornam únicas.

Isso quer dizer que a matemática fractal não pode ser usada para prever grandes eventos em sistemas caóticos, mas pode nos dizer que tais eventos acontecerão.

A matemática fractal, juntamente com o campo relacionado da teoria do caos, revelou a beleza oculta do mundo e inspirou cientistas de muitas áreas, incluindo cosmologia, medicina, engenharia e genética, além de artistas e músicos.

Mostrou que o universo é fractal e intrinsecamente imprevisível.